三角比（sin・cos・tan）とは？意味・公式・例題をわかりやすく解説【高校数学】
三角比とは？
三角比とは、直角三角形の辺の比から定義される sin・cos・tan の3つの比のことです。角度と辺の長さの関係を表し、三角形の計算・図形問題・物理など幅広く使われます。
三角比の定義・公式
直角三角形での定義
直角三角形において、角 θ（シータ）に対して：
| 三角比 | 定義 | 読み方 |
|---|---|---|
| sin θ | 対辺 ÷ 斜辺 | サイン θ |
| cos θ | 隣辺 ÷ 斜辺 | コサイン θ |
| tan θ | 対辺 ÷ 隣辺 | タンジェント θ |
重要な三角比の値
| θ | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | 定義なし |
主な公式
- sin² θ + cos² θ ＝ 1（三角比の基本関係）
- tan θ ＝ sin θ ÷ cos θ
- sin(90° − θ) ＝ cos θ
三角比の例題3選
-
θ ＝ 30° のとき、sin θ・cos θ・tan θ の値を求めよ。
→ sin 30° ＝ 1/2、cos 30° ＝ √3/2、tan 30° ＝ 1/√3
（30-60-90の直角三角形の辺比は 1 : √3 : 2。斜辺が2なので対辺＝1、隣辺＝√3） -
sin θ ＝ 3/5 のとき、cos θ と tan θ を求めよ（0° < θ < 90°）。
sin² θ + cos² θ ＝ 1 → cos² θ ＝ 1 − 9/25 ＝ 16/25
→ cos θ ＝ 4/5、tan θ ＝ 3/4
（cos > 0 なので正の値をとる。tan ＝ sin ÷ cos で計算） -
斜辺が10、底角が30°の直角三角形の対辺と隣辺を求めよ。
対辺 ＝ 10 × sin 30° ＝ 10 × 1/2 ＝ 5
隣辺 ＝ 10 × cos 30° ＝ 10 × √3/2 ＝ 5√3
（斜辺 × sin で対辺、斜辺 × cos で隣辺が求まる）
三角比の覚え方・つまずきポイント
よくある間違い
– sin と cos を逆に覚える → 「sin は対辺（縦）・cos は隣辺（横）」と覚える
– 30°・60°の値を混同 → sin 30° ＝ 1/2（小さい角＝小さい値）と覚える
– tan が定義されない角 → 90° では cos ＝ 0 なので tan は定義なし
語呂合わせ
「サイン（sin）は先に対辺 ÷ 斜辺、コサイン（cos）は隣辺 ÷ 斜辺」→ サ（sin）は縦、コ（cos）は横
三角比の関連公式・定理
| 公式・定理 | 内容 | 適用場面 |
|---|---|---|
| 正弦定理 | a/sin A ＝ 2R | 辺と角の関係を使う問題 |
| 余弦定理 | a² ＝ b² + c² − 2bc cos A | 3辺または2辺と挟む角 |
| 三角比の基本関係 | sin² θ + cos² θ ＝ 1 | sin から cos を求める |
| 補角の公式 | sin(180° − θ) ＝ sin θ | 鈍角の三角比 |
三角比が出る試験問題パターン
計算問題パターン
sin θ ＝ √3/2、0° ≦ θ ≦ 180° のとき θ を求めよ。
sin 60° ＝ √3/2 かつ sin 120° ＝ sin(180° − 60°) ＝ √3/2
→ 正解：θ ＝ 60°, 120°
応用問題の切り口
– 「三角形の面積を求めよ」→ S ＝ (1/2)ab sin C
– 「外接円の半径を求めよ」→ 正弦定理
– 「最大辺を求めよ」→ 余弦定理
よくある質問（FAQ）
Q1. sin・cos・tan とは何ですか？
直角三角形の辺の比を表す数です。sin は対辺÷斜辺、cos は隣辺÷斜辺、tan は対辺÷隣辺です。
Q2. 三角比の値はどうやって覚えますか？
30°・45°・60° の値は頻出なので、表を何度も書いて覚えるのが確実です。
Q3. sin² θ + cos² θ ＝ 1 はなぜ成り立つのですか？
ピタゴラスの定理（a² + b² ＝ c²）を斜辺で割ると導けます。sin と cos の二乗の和は常に1です。
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