二次関数とは？グラフ・頂点・例題をわかりやすく解説【高校数学】
二次関数とは？
二次関数とは、y ＝ ax² + bx + c（a ≠ 0）の形で表される関数のことです。グラフは放物線（U字型または逆U字型の曲線）になり、高校数学で最も重要なテーマの一つです。
二次関数の定義・標準形
一般形と標準形
| 形 | 式 | 特徴 |
|---|---|---|
| 一般形 | y ＝ ax² + bx + c | 係数がそのまま読める |
| 標準形 | y ＝ a(x − p)² + q | 頂点 (p, q) が直接読める |
平方完成で標準形へ変換
y ＝ ax² + bx + c → y ＝ a(x + b/2a)² + (c − b²/4a)
- 頂点：(−b/2a, c − b²/4a)
- 軸：x ＝ −b/2a
グラフの特徴
- a > 0：下に凸（U字型）、頂点が最小値
- a < 0：上に凸（逆U字型）、頂点が最大値
- |a| が大きいほど放物線は細くなる
二次関数の例題3選
-
y ＝ x² − 4x + 3 の頂点と軸を求めよ。
平方完成：y ＝ (x − 2)² − 1
→ 頂点 (2, −1)・軸 x ＝ 2
（x の係数 −4 の半分 −2 の符号を反転して頂点のx座標は 2） -
y ＝ −2x² + 4x の最大値を求めよ。
平方完成：y ＝ −2(x − 1)² + 2
→ 最大値 2（x ＝ 1 のとき）
（a < 0 なので頂点が最大値。頂点の y 座標が答え） -
y ＝ x² − 2x − 3 のグラフと x 軸の交点を求めよ。
y ＝ 0 として因数分解：(x − 3)(x + 1) ＝ 0
→ x ＝ 3, −1（交点：(3, 0) と (−1, 0)）
（x 軸との交点は y ＝ 0 を解く。判別式 D > 0 を確認するとよい）
二次関数の覚え方・つまずきポイント
よくある間違い
– 平方完成の符号ミス → y ＝ (x − p)² + q の p は「＋p/2a を変形した結果」に注意
– 定義域があるとき最大・最小を頂点だけで判断 → 端点も確認が必要
– a > 0 なのに「最大値がある」と勘違い → a > 0 は最小値、a < 0 は最大値
手順（最大・最小を求める）
1. 平方完成して標準形にする
2. a の符号で凸の向きを確認
3. 定義域がある場合は端点も含めて比較
二次関数の関連用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 頂点 | 放物線の最も高い（低い）点 |
| 軸 | 放物線の対称軸（x ＝ p の直線） |
| 判別式（D） | グラフと x 軸の交点数を判定する |
| 平方完成 | ax² + bx + c を a(x − p)² + q に変形 |
| 放物線 | 二次関数のグラフの形（U字型） |
二次関数が出る試験問題パターン
計算問題パターン
y ＝ 2x² − 8x + 5 の頂点を求めよ。
平方完成：y ＝ 2(x − 2)² − 3 → 正解：頂点 (2, −3)
応用問題の切り口
– 「最大・最小を求めよ」→ 定義域に注意して頂点と端点を比較
– 「x 軸との交点数を求めよ」→ 判別式 D で判定
– 「二次関数のグラフが点 (a, b) を通る条件」→ 代入して係数を求める
よくある質問（FAQ）
Q1. 二次関数とは何ですか？
y ＝ ax² + bx + c の形で表される関数です。グラフは放物線（U字・逆U字型の曲線）になります。
Q2. 頂点はどうやって求めますか？
平方完成（y ＝ a(x − p)² + q の形に変形）することで頂点 (p, q) が直接読み取れます。
Q3. a の符号の意味は何ですか？
a > 0 なら下に凸（最小値あり）、a < 0 なら上に凸（最大値あり）です。
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