数列（等差・等比）とは？公式・例題をわかりやすく解説【高校数学】
数列とは？
数列とは、数を一定の規則で並べたものです。高校数学では特に等差数列（一定の差で増減）と等比数列（一定の比で変化）が重要で、一般項・和の公式が頻出です。
数列の定義・公式
等差数列
隣り合う項の差（公差 d）が一定の数列。
| 項目 | 公式 |
|---|---|
| 一般項 | an ＝ a₁ + (n − 1)d |
| 和（初項から n 項） | Sn ＝ n(a₁ + an) ÷ 2 ＝ n{2a₁ + (n−1)d} ÷ 2 |
等比数列
隣り合う項の比（公比 r）が一定の数列。
| 項目 | 公式 |
|---|---|
| 一般項 | an ＝ a₁ × r^(n−1) |
| 和（r ≠ 1） | Sn ＝ a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) |
| 和（r ＝ 1） | Sn ＝ n × a₁ |
数列の和の記号 Σ（シグマ）
Σ（k＝1 から n）k ＝ n(n+1) ÷ 2
よく使う公式：
– Σk ＝ n(n+1)/2
– Σk² ＝ n(n+1)(2n+1)/6
– Σk³ ＝ {n(n+1)/2}²
数列の例題3選
-
初項 3、公差 4 の等差数列の第10項と初項から10項の和を求めよ。
a₁₀ ＝ 3 + (10 − 1) × 4 ＝ 3 + 36 ＝ 39
S₁₀ ＝ 10 × (3 + 39) ÷ 2 ＝ 210
（一般項公式に n＝10 を代入。和は（初項＋末項）×項数÷2） -
初項 2、公比 3 の等比数列の第5項と初項から5項の和を求めよ。
a₅ ＝ 2 × 3^4 ＝ 2 × 81 ＝ 162
S₅ ＝ 2 × (1 − 3⁵) ÷ (1 − 3) ＝ 2 × (−242) ÷ (−2) ＝ 242
（等比数列の和公式に代入。r ≠ 1 なので公式が使える） -
Σ（k＝1 から 10）(2k − 1) を求めよ。
Σ(2k − 1) ＝ 2 × Σk − Σ1 ＝ 2 × 55 − 10 ＝ 100
（Σk ＝ 10×11÷2 ＝ 55、Σ1 ＝ 10。これは1から19の奇数の和）
数列の覚え方・つまずきポイント
よくある間違い
– 一般項の (n−1) を n にしてしまう → 「第1項のとき d が0回かかる」と覚える
– 等比数列で r ＝ 1 のときの和公式を使い忘れる → r ＝ 1 なら Sn ＝ n × a₁
– Σ の上下限を間違える → 「k＝1 から n」と「k＝0 から n」では答えが変わる
手順（等差・等比の判断）
1. 隣り合う差が一定 → 等差数列（一般項 an ＝ a₁ + (n−1)d）
2. 隣り合う比が一定 → 等比数列（一般項 an ＝ a₁ × r^(n−1)）
3. どちらでもない → 漸化式を立てる
数列の関連用語
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 一般項（an） | n番目の項を n の式で表したもの |
| 公差（d） | 等差数列の隣り合う項の差 |
| 公比（r） | 等比数列の隣り合う項の比 |
| 部分和（Sn） | 第1項から第n項までの和 |
| 漸化式 | an+1 と an の関係式で数列を定義する |
| Σ（シグマ） | 和を表す記号 |
数列が出る試験問題パターン
計算問題パターン
等差数列で a₃ ＝ 7、a₇ ＝ 19 のとき、初項と公差を求めよ。
d ＝ (19 − 7) ÷ (7 − 3) ＝ 3、a₁ ＝ 7 − 2×3 ＝ 1 → 正解：初項 1、公差 3
応用問題の切り口
– 「第 n 項が初めて 100 を超えるのは何項目か」→ 一般項の不等式
– 「和が最大になる項数」→ 各項が正から負になる境界を探す
– 「数列の和を Σ で表して計算」→ Σ の基本公式を活用
よくある質問（FAQ）
Q1. 等差数列と等比数列の違いは何ですか？
等差数列は「一定の差を足し続ける数列」、等比数列は「一定の比をかけ続ける数列」です。
Q2. 一般項とは何ですか？
数列の n 番目の項を n の式で表したものです。これがわかれば何番目の項でも求められます。
Q3. Σ（シグマ）の使い方を教えてください。
Σ（k＝1 から n）f(k) は f(1) + f(2) + … + f(n) の和を表す省略記号です。基本公式（Σk、Σk²）を覚えると計算が速くなります。
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